Question

已知函数f（x）=

2mx-m2+1

x2+1

（x∈R）．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析：（1）m=1时，f（x）=

2x

x2+1

，故f′(x)=

2-2x2

(x2+1)2

，由此能求出曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程．
（2）f′(x)=

2m(x2+1)-2x(2mx-m2+1)

(x2+1)2

=

-2(mx+1)(x-m)

(m2+1)2

，由此利用m的符号进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间与极值．

解答：解：（1）m=1时，f（x）=

2x

x2+1

，
∴f′(x)=

2-2x2

(x2+1)2

，
∴k=f′(2)=-

6

25

，
∵f（2）=

4

5

，
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：
y-

4

5

=-

6

25

（x-2），
整理，得6x+25y-32=0．
（2）f′(x)=

2m(x2+1)-2x(2mx-m2+1)

(x2+1)2

=

-2(mx+1)(x-m)

(m2+1)2

，
当m=0时，f′(x)=

-2x

(x2+1)2

＞0，
∴x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数，在[0，+∞）上为减函数，
∴f（x）极大值为f（0）=1，无极小值．
当m＞0时，f′(x)=

-2(mx+1)(x-m)

(x2+1)2

＞0，
∴-

1

m

＜x＜m，
∴f（x）在（-

1

m

，m）上为增函数，在（-∞，-

1

m

），（m，+∞）上为减函数，
∴f（x）极大值为f（m）=1，f（x）极小值为f（-

1

m

）=-m²．
当m＜0时，f′(x)=

-2(mx+1)(x-m)

(x2+1)2

＞0，
∴x＜m或x＞-

1

m

，
∴f（x）在（m，-

1

m

）上为减函数，在（-∞，m），（-

1

m

，+∞）上为增函数，
∴f（x）极大值为f（m）=1，f（x）极小值为f（-

1

m

）=-m²．

点评：本题考查切线方程的求法，考查函数f（x）的单调区间与极值．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．