Question

已知（2x^lgx+lg2+1）ⁿ展开式中最后三项的系数的和是方程lg（y²-72y-72）=0的正数解，它的中间项是104+2lg

2

，求x的值．

Answer 1

分析：先解方程lg（y²-72y-72）=0，（2x^lgx+lg2+1）ⁿ展开式中最后三项的系数分别为C_n^n-2•4，C_n^n-1•2，C_nⁿ，由题意得到关于n的方程，求出n．再利用通项公式写出中间项，解方程即可．

解答：解：由lg（y²-72y-72）=0得y²-72y-73=0，∴y=-1（舍去）或y=73，
由题意知，C_n^n-2•4+C_n^n-1•2+C_nⁿ=73，∴n=6
已知条件知，其展开式的中间项为第4项，
即

C

3 6

•23•x3(lgx+lg2)=160•x3(lgx+lg2)=104+2lg

2

=2000，
∴lg²x+lg2•lgx+lg2-1=0，∴lgx=-1或lgx=1-lg2=lg5，
∴x=

1

10

或x=5．经检验知，它们都符合题意．

点评：本题考查二项式定理的通项公式的应用、及对数运算和对数方程问题，综合性较强．