Question

已知等比数列{a_n}满足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂与a₄的等差中项；
（1）求数列{a_n}的通项公式；    
（2）若b_n=a_n-log₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使不等式S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0成立的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，根据2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项，建立方程组，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列的通项，并求和，由S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0，建立不等式，即可求得结论．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
∵2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项
∴a₁（2+q²）=3a₁q（1），a₁（q+q³）=2a₁q²+4（2）
由（1）及a₁≠0，得q²-3q+2=0，∴q=1，或q=2，
当q=1时，（2）式不成立；当q=2时，符合题意，
把q=2代入（2）得a₁=2，所以，a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）b_n=a_n-log₂a_n=2ⁿ-n．
所以S_n=b₁+b₂+…b_n=（2+2²++2ⁿ）-（1+2+…+n）=2ⁿ⁺¹-2-

1

2

n-

1

2

n² 
因为S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0，所以2ⁿ⁺¹-2-

1

2

n-

1

2

n²-2ⁿ⁺¹+47＜0，
即n²+n-90＞0，解得n＞9或n＜-10．
故使S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0成立的正整数n的最小值为10．

点评：本题考查等比数列的通项，考查数列的通项与求和，考查解不等式，解题的关键是确定数列的通项与和，属于中档题．