Question

在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中常数称公积．若数列{a_n}是等积数列，且a₆=2，公积为6，则a₁•a₅•a₉…a₂₀₀₅•a₂₀₀₉的值是（ ）
A．2⁵⁰²
B．3⁵⁰²
C．2⁵⁰³
D．3⁵⁰³

Answer 1

【答案】分析：由题意可知a₁a₂=a₂a₃=a₃a₄=a₅a₆=…=a_n-1a_n=6，可得a₆=2，则数列{a_n}的奇数项为3，偶数项为2．曲此能够推导出a₁•a₅•a₉…a₂₀₀₅•a₂₀₀₉的值．
解答：解：由题意可知a₁a₂=a₂a₃=a₃a₄=a₅a₆=…=a_n-1a_n=6，
∵a₆=2，∴数列{a_n}的奇数项为3，偶数项为2，
∴a₁=a₅=a₉=…=a₂₀₀₅=a₂₀₀₉=3．
设等差数列b_n中，
首项b₁=1，公差d=4，则b_n=4n-3．
由4n-3≥2009的n≥503，
∴a₁，a₅，a₉，…，a₂₀₀₅，a₂₀₀₉中共有503项，
∴a₁•a₅•a₉…a₂₀₀₅•a₂₀₀₉=3⁵⁰³．
故选D．
点评：理解等积函数和公积的概念是正确解题的关键．