Question

( 本小题满分12分)

已知点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

（Ⅲ）求证：直线、的斜率之和为定值．

Answer 1

本小题主要考查椭圆的方程的求法，考察弦长公式的应用和利用均值不等式求最值的方法，考查思维能力、运算能力和综合解题的能力．满分12分．

〖解析〗（Ⅰ），  ，

∴，，

∴    ………………………………………………4分

       （Ⅱ）设直线BD的方程为

  

  ………………………①

    ………………………②

，

设为点到直线BD：的距离，

 ∴

∴ ，当且仅当时取等号.

因为，所以当时，的面积最大，最大值为………9分

  （Ⅲ）设，，直线、的斜率分别为： 、，则

= …………………………（*）

 将（Ⅱ）中①、②式代入（*）式整理得

=0，

即0………………………………………………………………12分