Question

已知在（-）ⁿ的展开式中，第6项为常数项．
（1）求n； 
（2）求含x²项的系数； 
（3）求展开式中所有的有理项．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二项式定理，可得（-）ⁿ的展开式的通项，又由题意，可得当r=5时，x的指数为0，即，解可得n的值，
（2）由（1）可得，其通项为T_r+1=（-）^rC₁₀^r，令x的指数为2，可得，解可得r的值，将其代入通项即可得答案；
（3）由（1）可得，其通项为T_r+1=（-）^rC₁₀^r，令x的指数为整数，可得当r=2，5，8时，是有理项，代入通项可得答案．
解答：解：（1）根据题意，可得（-）ⁿ的展开式的通项为=，
又由第6项为常数项，则当r=5时，，
即=0，解可得n=10，
（2）由（1）可得，T_r+1=（-）^rC₁₀^r，
令，可得r=2，
所以含x²项的系数为，
（3）由（1）可得，T_r+1=（-）^rC₁₀^r，
若T_r+1为有理项，则有，且0≤r≤10，
分析可得当r=2，5，8时，为整数，
则展开式中的有理项分别为．
点评：本题考查二项式定理的应用，解题时要区分有理项与常数项，关键是根据二项式定理，写出其展开式的通项．