Question

【题目】已知一元二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为（c，0），且当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．

（1）当a=1，时，求出不等式f（x）＜0的解；

（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；

（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)．(2)；(3)．

【解析】

（1）由韦达定理和题中所给条件可解得函数的两个零点，进而可解得不等式f（x）＜0的解；（2）由韦达定理及函数过（c，0），可解不等式；（3）表示出以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积，利用基本不等式求得a的取值范围．

（1）当a=1，时，，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，

∵，设另一个根为x2，则，∴x2=1，

则f（x）＜0的解集为．

（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，

∵f（c）=0，

设另一个根为x2，则，

又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则，

∴f（x）＜0的解集为；

（3）由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为，

这三交点为顶点的三角形的面积为，

∴，

当且仅当c=4时，等号成立，

故．