题目内容
设f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=2，当x＞0时，有f（x）＞xf′（x）恒成立，不等式f（x）＞x的解集是（ ）
分析：构造函数g（x）=
，由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，利用单调性求出不等式得解集即可．
| f(x) |
| x |
解答：解：构造函数g（x）=
，则g′（x）=
∵x＞0时，有f（x）＞xf′（x）
∴x＞0时，g′（x）＜0，即x＞0时，函数单调递减
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴g（x）=
是定义在R上的奇函数
∴x＜0时，函数g（x）单调递减
∵f（2）=2，∴g（2）=1
∴不等式f（x）＞x等价于
或
∴0＜x＜2或x＜-2
故选D．
| f(x) |
| x |
| xf′(x)-f(x) |
| x2 |
∵x＞0时，有f（x）＞xf′（x）
∴x＞0时，g′（x）＜0，即x＞0时，函数单调递减
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴g（x）=
| f(x) |
| x |
∴x＜0时，函数g（x）单调递减
∵f（2）=2，∴g（2）=1
∴不等式f（x）＞x等价于
|
|
∴0＜x＜2或x＜-2
故选D．
点评：本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，属于中档题．
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| A、f（x）=-x2+6x-8 | B、f（x）=x2-10x+24 | C、f（x）=x2-6x+8 | D、f（x）=x2-6x+8+a |