Question

已知函数f(x)=

-x2+2x，    x＞0 0，               x=0 x2+mx，     x＜0

是奇函数，若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）是奇函数，求出m，然后根据函数表达式，求出函数的单调递增区间，即可求a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）是奇函数，
∴当x＞0时，-x＜0，满足f（-x）=-f（x），
即x²-mx=-（-x²+2x）=-x²-2x，
解得m=2．
∴f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+2x，x＜0

，
作出函数f（x）的图象，由图象可知函数f（x）在[-1，1]上单调递增．
若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，
则-1＜a-2≤1，
即1＜a≤3．
故答案为：（1，3]．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．