Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n²-2n．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=

1

anan+1

，数列b_n的前n项和为T_n，求证：T_n＜

1

6

．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，即可得出a_n．
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=3-2=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=6n-5．
（2）bn=

1

(6n-5)(6n+1)

=

1

6

(

1

6n-1

-

1

6n+1

)．
∴Tn=

1

6

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…+(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]=

1

6

(1-

1

6n+1

)＜

1

6

．
因此T_n＜

1

6

成立．

点评：熟练掌握“利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，求a_n”、“裂项求和”等是解题的关键．