Question

设函数f（x）=x²+2x+alnx，当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，则实数a的取值范围是

a≤2

．

Answer 1

分析：由f（x）的解析式化简不等式，得到当t≥1时，t²≥2t-1，∴ln

t2

2t-1

≥0．即t＞1时，a≤

2(t-1)2

ln t2 2t-1

恒成立即要求出

2(t-1)2

ln t2 2t-1

的最小值即可得到a的范围．

解答：解：∵f（x）=x²+2x+alnx，∴f(2t-1)≥2f(t)-3⇒2t2-4t+2≥2alnt-aln(2t-1)=aln

t2

2t-1

当t≥1时，t²≥2t-1，∴ln

t2

2t-1

≥0．即t＞1时，a≤

2(t-1)2

ln t2 2t-1

恒成立．又易证ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，
∴ln

t2

2t-1

=ln[1+

(t-1)2

2t-1

]≤

(t-1)2

2t-1

＜(t-1)2在t＞1上恒成立．当t=1时取等号，
∴当t≥1时，ln

t2

2t-1

≤(t-1)2，∴由上知a≤2．故实数a的取值范围是（-∞，2]．

点评：本题考查函数恒成立时所取的条件．考查考生的运算、推导、判断能力．