Question

已知函数，其最小正周期为．
（I）求f（x）的表达式；
（II）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的表达式为2sin（2ωx+），再根据它的最小正周期为，求得ω=2，从而求得f（x）的表达式．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，可得，由题意可得函数y=g（x）与y=k在区间[0，]上有且只有一个交点，结合正弦函数的图象求得实数k的取值范围．
解答：解：（I）=．…（3分）
由题意知f（x）的最小正周期，，所以ω=2…（5分）
所以，…（6分）
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个个单位后，得到的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象．
所以…（9分）
因为0≤x≤，所以．
g（x）+k=0 在区间[0，]上有且只有一个实数解，即函数y=g（x）与y=k在区间[0，]上有且只有一个交点，
由正弦函数的图象可知，或k=-1，
所以，或k=-1．…（12分）
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．