Question

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且向量

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，cosA），满足

m

•

n

=sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且

AC

•(

AC

-

AB

)=18，求边c的长．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量的数量积的运算法则及两角和的正弦函数公式化简

m

•

n

=sin2C，得到sin2C等于sinC，化简后即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，根据等差数列的性质得到2sinC等于sinA+sinB，根据正弦定理得到2c=a+b，再根据向量的减法法则化简已知的

CA

•(

AB

-

AC

)=18，利用平面向量的数量积的运算法则得到ab的值，利用余弦定理表示出c的平方，把求出的C的度数，a+b=2c及ab的值代入即可列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．

解答：解：（1）

m

•

n

=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)
对于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC
∴

m

•

n

=sinC
又∵

m

•

n

=sin2C，
∴sin2C=2sinCcosC=sinC，即cosC=

1

2

，又C∈（0，π）
∴C=

π

3

；
（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB
由正弦定理得2c=a+b，
∵

AC

•(

AC

-

AB

)=18，
∴

AC

•

BC

=18，
得abcosC=18，即ab=36，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
∴c²=4c²-3×36，即c²=36，
∴c=6．

点评：本题考查向量的运算、等差数列的性质、正余弦定理解三角形知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．