Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n之间满足关系Sn=

3

2

(an-1)，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

求证：T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）由题意知an=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)=

3

2

an-

3

2

an-1，所以a_n=3a_n-1．由S1=a1=

3

2

(a1-1)得a₁=3．所以a_n=3×3^n-1=3ⁿ．
（2）由题意知

1

bn

=

2

n(1+n)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，T_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)．由此可知T_n＜2．

解答：解：（1）当n≥2时，an=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)=

3

2

an-

3

2

an-1，
∴a_n=3a_n-1．（3分）
又由S1=a1=

3

2

(a1-1)得a₁=3．
∴数列{a_n}是首项a₁=3、公比为3的等比数列．∴a_n=3×3^n-1=3ⁿ（7分）
（2）∵f（x）=log₃x，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂++log₃a_n=log₃（a₁a₂a_n）
∴bn=log33^1+2++n．（10分）
∴

1

bn

=

2

n(1+n)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

++

1

bn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)．
∴T_n＜2．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用和计算能力的培养．