Question

已知函数f（x）=2

3

sin²（

π

4

+x）+2cos²x-

3

．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=3，f（c）=2，若向量

m

=(1，sinA)与

n

=(2，sinB)共线，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）把f（x）的解析式先利用二倍角的余弦函数公式化简，去括号合并后，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，再根据正弦函数的递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的递增区间；
（2）利用（1）化简得到的f（x）化简f（C）=2，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，再由两向量共线，利用平面向量的数量积运算法则化简后，利用正弦定理得到a与b的关系式，由c及cosC的值，利用余弦定理即可得到关于a与b的另一个关系式，联立两关系式即可求出a与b的值．

解答：解：（1）f（x）=2

3

sin²（

π

4

+x）+2cos²x-

3

=2

3

×

1-cos( π 2 +2x)

2

+2×

1+cos2x

2

-

3

=

3

（sin2x+1）+cos2x+1-

3

=

3

sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴最小正周期T=

2π

2

=π，
∵正弦函数的递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
∴函数f（x）的递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]；
（2）∵f（C）=2sin（2C+

π

6

）+1=2，
∴sin（2C+

π

6

）=

1

2

，又C为三角形的内角，
∴C=

π

3

，
又∵向量

m

=(1，sinA)与

n

=(2，sinB)共线，
∴sinB=2sinA，
根据正弦定理化简得：b=2a①，又c=3，
根据余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
即c²=a²+b²-ab=9②，
联立①②解得a=

3

，b=2

3

．

点评：此题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，正弦、余弦定理以及平面向量的数量积的运算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．