Question

已知集合D={（ x₁，x₂）|x ₁＞0，x ₂＞0，x₁+x₂=k }，其中k为正常数
（1）若k=2，且u=x₁?x₂，求u的取值范围
（2）若k=2，且y=(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)，求y的取值范围．
（3）设y1=(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)，y2=(

k

2

-

2

k

)2，探究判断y₁和y₂的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用基本不等式，其中和为定值，积有最大值；
（2）结合（1）中的范围直接将左边展开，利用u在 (0，

k2

4

]上单调递增即可；
（3）结合（2）将（3）转化为求使 f(u)≥f(

k2

4

)对 u∈(0，

k2

4

]恒成立的k的范围，利用作差法求解．

解答：解：（1）x1x2≤(

x1+x2

2

)2=

k2

4

，当且仅当 x1=x2=

k

2

时等号成立，
故u的取值范围为 (0，

k2

4

]．
当k=2时u的取值范围（0，1]；
（2）由于(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)=

1

x1x2

+x1x2-

x1

x2

-

x2

x1

=x1x2+

1

x1x2

-

x 2 1 + x 2 2

x1x2

=x1x2-

k2-1

x1x2

+2=u-

k2-1

u

+2
由 0＜u≤

k2

4

，又k≥1，k²-1≥0，
∴在 (0，

k2

4

]上是增函数
所以 (

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)
=u-

k2-1

u

+2≤

k2

4

-

k2-1

k2 4

+2=

k2

4

-2+

4

k2

=(

2

k

-

k

2

)2
即当k=2，y的取值范围是：（-∞，0）；
（3）由（2）可知 (

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)-(

k

2

-

2

k

)2=

(x1-x2)2(4-k2x1x2-4k2)

4k2x1x2

，
要不等式恒成立，必须4-k²x₁x₂-4k²≥0恒成立
即 x1x2≤

4-4k2

k2

恒成立
由 0＜x1x2≤

k2

4

得

k2

4

≤

4-4k2

k2

，即k⁴+16k²-16≤0，
解得 0＜k2≤4

5

-8．
因此当0＜k2≤4

5

-8时，y₁≥y₂；当k2＞4

5

-8时，y₁＜y₂；

点评：本题考查不等式的综合应用，以及利用转化思想、函数思想转化为函数问题利用函数的单调性解决不等式问题，属于中档题．