Question

一元三次函数f（x）的三次项系数为

a

3

，f′（x）+9x＜0的解集为（1，2），
（1）若f′（x）+7a=0，求f′（x）的解析式；
（2）若f（x）在R上单调增，求a的范围．

Answer 1

分析：（1）先根据一元三次函数f（x）的三次项系数为

a

3

假设出解析式，然后对函数f（x）进行求导，根据f’（x）+9a＜0的解集为（1，2）可用a表示出b，c的关系式，最后由f′（x）+7a=0求出a的范围，进而得到函数f′（x）的解析式．
（2）由f（x）在R上单调增，根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系可判断f'（x）≥0在R上恒成立，进而求出a的范围．

解答：解解：∵一元三次函数f（x）的三次项系数为

a

3

，
设f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d，∴f'（x）=ax²+2bx+c
∵f′（x）+9x=ax²+2bx+c+9x＜0的解集为（1，2），
∴f′（x）+9x=ax²+2bx+c+9x=a（x-1）（x-2）＜0
b=-

9+3a

2

，c=2a（a＞0）
（1）由上f'（x）+7a=ax²-（9+3a）x+9a=0成立
∴△=（9+3a）²-36a²≥0
∴-1≤a≤3又因为a＞0∴0＜a≤3
∴f′（x）=ax²-（9+3a）x+2a（0＜a≤3）
（2）∵f（x）在R上单调增，
∴f'（x）=ax²-（9+3a）x+2a≥0在R上恒成立
∴△=（9+3a）²-8a²=a²+54a+81≤0
∴-27-18

2

 ≤a≤-27+18

2

又因为a＞0∴0＜a≤-27+18

2

点评：本题主要考查函数的求导运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．