Question

已知圆x²＋y²＝8，定点P(4，0)，问过P点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相切，(2)相交，(3)相离？并写出过P点的切线方程．

Answer 1

答案：
解析：

[解法一]设过P点的直线的斜率为k(由已知k存在)，则其方程为y＝k(x－4) 　　由消去y，得x2＋k2(x－4)2＝8， 　　即(1＋k2)x2－8k2x＋16k2－8＝0， 　　Δ＝(－8k2)2－4(1＋k2)(16k2－8)＝32(1－k2)． 　　(1)令Δ＝0，即32(1－k2)＝0， 　　∴当k＝±1时，直线与圆相切，切线方程为x－y－4＝0或x＋y－4＝0． 　　(2)令Δ＞0，即32(1－k2)＞0　－1＜k＜1， 　　∴当－1＜k＜1时，直线与圆相交． 　　(3)令Δ＜0，即32(1－k2)＜0　k＞1或k＜－1， 　　∴当k＜－1或k＞1时，直线与圆相离． 　　 　　探究：①判断直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系可由得mx2＋nx＋p＝0，利用判别式Δ： 　　当Δ＝0时相切；当Δ＞0时相交；当Δ＜0时相离． 　　②已知直线Ax＋By＋C＝0和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2圆心到直线的距离． 　　相交d＜r；相切d＝r；相离d＞r．

提示：

解决直线与圆的位置关系，几何法比代数法简单．