Question

在公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=（-1）^n-1a_n²，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）设公差为d，由a₂，a₅，a₁₄成等比数列，可得d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a_n；
（2）由b_n=（-1）^n-1a_n²=（-1）^n-1（2n-1）²知，Sn=12-32+52-72+…+（-1）^n-1（2n-1）²，分n为偶数，n为奇数两种情况进行讨论，利用并项求和可得结果；

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），则(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，
又a₁=1，∴d²-2d=0，
∵d≠0，∴d=2，
故a_n=2n-1；
（2）由b_n=（-1）^n-1a_n²=（-1）^n-1（2n-1）²知，Sn=12-32+52-72+…+（-1）^n-1（2n-1）²，
①当n=2k（k∈N*）时，Sn=(12-32)+(52-72)+…+[（4k-3）²-（4k-1）²]
=-2[4+12+20+…+（8k-4）]=-8k²=-2n²；
②当n=2k-1（k∈N*）时，Sn=(12-32)+(52-72)+…+[（4k-3）²-（4k-1）²]
+（4k-1）²=-8k²+（4k-1）²=-2（n+1）²+[2（n+1）-1]²=2n²-1；
综上所述Sn=

2n2-1，n为奇数 -2n2，n为偶数

（n∈N*）．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列求和，考查分类讨论思想，具有一定思维含量．