Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，

π

2

），以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e₁，以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e₂，则e₁•e₂=

1

．

Answer 1

分析：连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=

c

a

可表示出e₁，同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e₂的关系式，最后令e₁、e₂相乘即可得到e₁e₂的值．

解答：解：连接BD，AC，设AD=t，
则BD=

t2+4t2-2•t•2tcosθ

=

5t2-4t2cosθ

∴双曲线中a=

5t2-4t2cosθ -t

2

e₁=

t

5t2-4t2cosθ -t 2

∵AC=BD，
∴椭圆中CD=2t（1-cosθ）=2c′，
∴c'=t（1-cosθ），
AC+AD=

5t2-4t2cosθ

+t，
∴a'=

1

2

（

5t2-4t2cosθ

+t）
e₂=

c′

a′

=

t(1-cosθ)

1 2 ( 5t2-4t2cosθ +t)

∴e₁e₂=

t

5t2-4t2cosθ -t 2

×

t(1-cosθ)

1 2 ( 5t2-4t2cosθ +t)

=1
故答案为：1．

点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．