Question

已知函数f(x)=a-

1

2x+1

．
（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数； 
（3）在（2）条件下，解不等式：f(log

1

2

x-1)＞0．

Answer 1

分析：（1）对函数求导数，得f'（x）=

2xln2

(2x+1)2

，通过讨论可得函数的导数在R上恒为正数，因此函数f（x）不论a为何实数总是为增函数；
（2）先用奇函数在R上有定义时，f（0）=0，解得a=

1

2

，再利用奇函数的定义验证，得到当a=

1

2

时，f（x）为奇函数，符合题意；
（3）在（2）条件下，可得函数为奇函数且是R上的增函数，将原不等式变形为：f(log

1

2

x-1)＞f(0)，可得log

1

2

x-1＞0，解之即得原不等式的解集为：{x|0＜x＜

1

2

}．

解答：解：（1）对函数f(x)=a-

1

2x+1

求导数，得f'（x）=-

-2xln2

(2x+1)2

=

2xln2

(2x+1)2

，
∵（2^x+1）²＞0，2^x＞0，ln2＞0
∴f'（x）＞0在其定义域R上恒成立
∴不论a为何实数f（x）总是R上的增函数；
（2）∵f（x）定义域为R，
∴若函数为奇函数时，f（0）=a-

1

20+1

=0，即a=

1

2

当a=

1

2

时，f(x)=

1

2

-

1

2x+1

=

2x-1

2(2x+1)

，
∴f（-x）=

2-x-1

2(2-x+1)

=

1-2x

2(2x+1)

=-f（x），符合题意．
因此，当a=

1

2

时，f（x）为奇函数； 
（3）在（2）条件下，可得函数为奇函数且是R上的增函数
∴不等式f(log

1

2

x-1)＞0，即f(log

1

2

x-1)＞f(0)
可得log

1

2

x-1＞0，即log

1

2

x＞1，解之得0＜x＜

1

2

，
所以原不等式的解集为：{x|0＜x＜

1

2

}．

点评：本题借助于一个含有指数式的分式函数，研究了它的单调性与奇偶性，着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．