Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+k（其中A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，且f（x）还满足以下三个条件：
①最大值是3；②图象关于点(

3π

4

，1)对称；③在区间[0，π]上是单调函数．则函数f（x）的表达式是

f(x)=2sin(

2

3

x+

π

2

)+1

．

Answer 1

分析：由函数的对称中心的纵坐标求出k的值，由最值求出A，根据函数f（x）是R上的偶函数，0≤φ≤π 可得 φ 值，由 sin（ω•

3π

4

+

π

2

）=0，可得ω的值．

解答：解：由①函数的最大值是3、②图象关于点(

3π

4

，1)对称，可得 k=1，A+1=2，故A=2，故函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1．
根据函数f（x）是R上的偶函数，0≤φ≤π 可得 φ=

π

2

． 再由 sin（ω•

3π

4

+

π

2

）=0，ω＞0，可得ω•

3π

4

+

π

2

=π，ω=

2

3

．
经检验f(x)=2sin(

2

3

x+

π

2

)+1满足③在区间[0，π]上是单调函数，
故答案为 f(x)=2sin(

2

3

x+

π

2

)+1．

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ ）的部分图象求解析式，属于中档题．