Question

【题目】已知点A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ） 图象上的任意两点，且角φ的终边经过点 ，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为 ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）当 时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：角φ的终边经过点 ，

∴ ，

∵ ，∴ ．

由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为 ，得 ，

即 ，∴ω=3

∴

（2）解：由 ，

可得 ，

∴函数f（x）的单调递增区间为 k∈z

（3）解：当 时， ，

于是，2+f（x）＞0，

∴mf（x）+2m≥f（x）等价于

由 ，得 的最大值为

∴实数m的取值范围是 ．

【解析】（1）利用三角函数的定义求出φ的值，由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为 ，可得函数的周期，从而可求ω，进而可求函数f（x）的解析式；（2）利用正弦函数的单调增区间，可求函数f（x）的单调递增区间；（3）当 时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，等价于 ，由此可求实数m的取值范围．
【考点精析】掌握三角函数的最值是解答本题的根本，需要知道函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．