Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等腰直角三角形，PA⊥PD，CD⊥AD，AB=AD=2，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点．
求证：（1）平面BEF∥平面PCD；
　　　（2）直线PA⊥平面PCD；
　　　（3）求三棱锥E-ABF体积．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理证明BF⊥AD，从而可证BF∥CD，又EF∥PD，利用面面平行的判定定理证明平面BEF∥平面PCD；
（2）根据面面垂直的性质得CD⊥平面PAD，可证CD⊥PA，再由线线垂直证明线面垂直；
（3）三棱锥E-ABF换底为A-BEF，利用（1）和（2）的结论分别求得高于底面面积，代入三棱锥的体积公式计算．

解答：解：（1）证明：∵F为AD的中点，∴AF=1，
又AB=2，∠BAD=60°，由余弦定理得：BF=

3

，
∵AF²+BF²=AB²，∴BF⊥AD，∵CD⊥AD，BF与CD共面，∴BF∥CD，
又BF?平面PCD，CD?平面PCD，∴BF∥平面PCD，
∵E、F分别是AP、AD的中点．∴EF∥PD，EF?平面PCD，PD?平面PCD，
∴EF∥平面PCD，又∵EF∩BF=F，
∴平面BEF∥平面PCD，
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，PA?平面PAD，
∴CD⊥PA，又PD⊥PA，CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD．
（3）∵平面BEF∥平面PCD，PA⊥平面PCD，
∴PA⊥平面BEF，∴AE为三棱锥A-BEF的高，AE=

1

2

PA，
∵△PAD是等腰直角三角形，AD=2，∴PA=

2

，∴AE=

2

2

，
由（1）知BF⊥EF，EF=

1

2

PD=

2

2

，
∴V_E-ABF=V_A-BEF=

1

3

×

1

2

×BF×EF×AE=

1

3

×

1

2

×

3

×

2

2

×

2

2

=

3

12

．

点评：本题考查了面面平行与线面垂直的证明，考查了三棱锥的体积计算，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，