题目内容

在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体（如图），则截去8个三棱锥后，求剩下的几何体的体积与原正方体体积比．

解：根据题意，被截得的三棱锥是三条侧棱都等于 $\text{[math]}$ 的正三棱锥
∵正三棱锥三条侧棱两两垂直，且长度都为 $\text{[math]}$
∴以一个侧面为底时，它的高等于 $\text{[math]}$ ，此时的底面积S= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴该三棱锥的体积为V₁= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵在正方体的8个角都截去一个如图的三棱锥
∴截去8个三棱锥后，求剩下的几何体的体积V=V_正方体-8V₁=1×1×1- $\text{[math]}$ ×8= $\text{[math]}$
由此可得，剩下的几何体的体积与原正方体体积比为 $\text{[math]}$ ：1=5：6．
分析：由题意，被截得的三棱锥是三条侧棱都等于 $\text{[math]}$ 的正三棱锥，且三条侧棱两两垂直．由此可得被截得的三棱锥体积为 $\text{[math]}$ ，结合正方体的体积公式，不难得到剩下的几何体的体积与原正方体体积比．
点评：本题将正方体沿8个顶点截去8个三棱锥，求剩余几何体与正方体的体积之比，着重考查了正方体的性质和锥体体积求法等知识，属于基础题．