Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3），B（5，1），P（2，1），点M是直线OP上的一个动点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若四边形APBM是平行四边形，求点M的坐标；
（Ⅲ）求的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵点A（3，3），B（5，1），P（2，1），
∴，，
∴，
∴=．
（Ⅱ）设点M（x，y）．
∵四边形APBM是平行四边形，∴，
∴（1，2）=（x-5，y-1），∴，解得．
∴M（6，3）．
（Ⅲ）设点M（x，y）．
则．
由题意．
∴x-2y=0，即x=2y．
∴M（2y，y）．
∴=（3-2y，3-y）•（5-2y，1-y）
=5y²-20y+18
=5（y-2）²-2．
∴当y=2时，取得最小值-2，此时M（4，2）．
分析：（Ⅰ）利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出；
（Ⅱ）利用平行四边形的性质、向量共线的性质及其坐标坐标运算即可得出；
（Ⅲ）利用向量共线和二次函数的单调性即可得出．
点评：熟练掌握向量的坐标运算和模的计算公式、平行四边形的性质、向量共线的性质、向量共线定理和二次函数的单调性是解题的关键．