Question

已知函数f（x）=

a•2x+a-1

2x+1

．
（I）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；
（II）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）应用增函数的定义证明；
（II）根据奇函数定义，在定义域内f（-x）=-f（x）恒成立可求a值；
（Ⅲ）利用2^x＞0及函数单调性可求．

解答：（I）证明：f（x）=

a•2x+a-1

2x+1

=a-

1

2x+1

，
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

2x1+1

）-（a-

1

2x2+1

）=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为x₁0，2x2+1＞0，
所以f（x₁）＜-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（II）若f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），即a-

1

2-x+1

=-（a-

1

2x+1

），
所以2a=

1

2-x+1

+

1

2x+1

=1，即a=

1

2

．
故当a=

1

2

时，f（x）为奇函数．
（Ⅲ）由（II）知，若f（x）为奇函数，a=

1

2

，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，
因为2^x＞0，所以0＜

1

2x+1

＜1，-1＜-

1

2x+1

＜0，所以-

1

2

＜f（x）＜

1

2

．
故f（x）的值域为（-

1

2

，

1

2

）．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，其定义是解决该类问题的基本方法．