题目内容
数列{an}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N*都有：am+n=am+an+mn，则
+
+
+…+
=（ ）
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a2008 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
分析：先令n=1找递推关系并求通项公式，再利用通项的特征求和，或用不完全归纳法猜测an，再求和．
解答：解一：因为an+m=an+am+mn，则可得a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，则可猜得数列的通项an=
，
∴
=
=2（
-
），
∴
+
+
++
=2（1-
+
-
++
-
）=2（1-
）=
故选D
解二：令n=1，得an+1=a1+an+n=1+an+n，∴an+1-an=n+1
用叠加法：an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=1+2+…+n=
所以
=
=2(
-
)
于是
+
+…+
=2(1-
) +2(
-
) +…+2(
-
)=2(1-
)=
故选D
| n(n+1) |
| 2 |
∴
| 1 |
| an |
| 2 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
∴
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a2008 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2008 |
| 1 |
| 2009 |
| 1 |
| 2009 |
| 4016 |
| 2009 |
故选D
解二：令n=1，得an+1=a1+an+n=1+an+n，∴an+1-an=n+1
用叠加法：an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=1+2+…+n=
| n(n+1) |
| 2 |
所以
| 1 |
| an |
| 2 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
于是
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a2008 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2008 |
| 1 |
| 2009 |
| 1 |
| 2009 |
| 4016 |
| 2009 |
故选D
点评：对于数列问题，应尽可能知道其通项，才能根据其特征采取相应的求和办法．如本题为裂项相消求和．
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