Question

已知函数f(x)=2x³-5ax²+4a²x+1(a∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设a＞,求函数f(x)在［1,2］上的最小值.

Answer 1

解:（1）f′(x)=6x²-10ax+4a²

=6(x-a)(x-a).

当a=0时，f(x)=2x³+1是R上的增函数.

当a＞0时，a＞a,在区间（a,+∞）和区间（-∞,a）上，f′(x)＞0,

所以(a,+∞),(-∞,a)是f(x)的单调递增区间；

在区间（a,a）上，f′(x)＜0，所以此区间是f(x)的单调递减区间.

当a＜0时，a＜a,在区间（a,+∞）和区间(-∞,a)上，f′(x)＞0，所以(a,+∞),(-∞,a)是f(x)的单调递增区间；

在区间（a,a）上，f′(x)＜0，所以此区间是f(x)的单调递减区间.

（2）因为a＞,所以a＞1.

①当2≤a,即a≥3时，在［1,2］上函数f(x)为增函数,f(x)的最小值为f(1),

f(1)=4a²-5a+3;

②当a＜2≤a,即2≤a＜3时，1＜a,根据f(x)的单调性，f(x)的最小值为f(1)、f(2)中的值小的一个，

因为f(2)-f(1)=4a²-15a+14=(a-2)(4a-7)＞0,

所以最小值为f(1)=4a²-5a+3;

③当2＞a，即＜a＜2时，根据f(x)的单调性，f(x)的最小值为f(1)、f(a)中的一值小的一个，因为f(a)-f(1)=a³-4a²+5a-2=(a-2)(a-1)²＜0,所以最小值为f(a)=a³+1;

综上，当＜a＜2时，f(x)的最小值为a³+1;当a≥2时，f(x)的最小值为4a²-5a+3.