题目内容
15、定义在实数集上的函数f（x）对任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），且f（0）≠0，
（1）求证：f（0）=1
（2）求证：y=f（x）是偶函数．
（1）求证：f（0）=1
（2）求证：y=f（x）是偶函数．
分析：本题考查的是抽象函数及其应用类问题．在解答时：
（1）在抽象表达式中令x=y=0代入表达式即可获得问题的解答；
（2）在抽象表达式中令x=0，y不动，结合（1）的结论即可获得f（-y）与f（y）之间的关系，从而获得函数的奇偶性．
（1）在抽象表达式中令x=y=0代入表达式即可获得问题的解答；
（2）在抽象表达式中令x=0，y不动，结合（1）的结论即可获得f（-y）与f（y）之间的关系，从而获得函数的奇偶性．
解答：解：（1）令x=y=0则有f（0）+f（0）=2f（0）f（0）2f（0）=f（0）f（0），
因为f（0）≠0，
所以f（0）=1．
（2）令x=0
则有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），
∴f（-y）=f（y），
所以y=f（x）是偶函数．
因为f（0）≠0，
所以f（0）=1．
（2）令x=0
则有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），
∴f（-y）=f（y），
所以y=f（x）是偶函数．
点评：本题考查的是抽象函数及其应用类问题．在解答的过程当中充分体现了抽象表达式的应用能力、特值的问题处理技巧以及必要的计算能力．同时函数的奇偶性定义也在题目中得到了体现．值得同学们体会和反思．
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