Question

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax2-2x．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=3时，利用导数求出单调区间，得出极值点，求得极值．
（Ⅱ）题意f′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．

解答：（Ⅰ）解：f(x)=lnx-

3

2

x2-2x，f′(x)=-

3x2+2x-1

x

(x＞0)．
由f′（x）＞0，得0＜x＜

1

3

，由f′（x）＜0，得x＞

1

3

．
所以y=f（x）存在极大值f(

1

3

)=-

5

6

-ln3．
（Ⅱ）解：f′(x)=-

ax2+2x-1

x

(x＞0)，
依题意f′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
当a≥0时，显然有解；
当a＜0时，由方程ax²+2x-1=0至少有一个正根，得-1＜a＜0；   所以a＞-1．

点评：本题考查函数导数与单调性的关系，函数极值，零点存在性定理．考查推理论证，运算求解能力．