Question

（1）若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos(θ+

π

3

)，它们相交于A，B两点，求线段AB的长．
（2）过点P（-3，0）且倾斜角为30°直线和曲线

x=t+ 1 t y=t- 1 t

 (t为参数)相交于A、B两点．求线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）极坐标方程ρ=1与ρ=2cos(θ+

π

3

)，为直角坐标方程，联立求出交点，然后求得AB的长．
（2）求出直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数的几何意义，求出AB的长．

解答：解：（1）：由ρ=1得x²+y²=1，
又∵ρ=2cos(θ+

π

3

)=cosθ-

3

sinθ，∴ρ2=ρcosθ-

3

ρsinθ
∴x2+y2-x+

3

y=0，（4分）
由

x2+y2=1 x2+y2-x+ 3 y=0

得A(1，0)，B(-

1

2

，-

3

2

)，（6分）
∴AB=

(1+ 1 2 )2+(0+ 3 2 )2

=

3

（8分）
（2）．直线的参数方程为

x=-3+ 3 2 s y= 1 2 s

(s为参数)，（10分）
曲线

x=t+ 1 t y=t- 1 t

(t为参数)可以化为x²-y²=4．（12分）
将直线的参数方程代入上式，得s2-6

3

s+10=0．
设A、B对应的参数分别为s₁，s₂，
∴s1+s2=6

3

，s1s2=10．（14分）
AB=|s1-s2|=

(s1+s2)2-4s1s2

=2

17

．（16分）

点评：本题考查直线的参数方程，圆的极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查计算能力，是中档题．