Question

已知函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+2sin2(x+

π

6

)-2cos2x+a-1（a∈R，a为常数）
（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）求函数f（x）的单调递增区间
（3）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值为1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、两角和差的正弦、余弦公式化简函数f（x）的解析式为

3

sin2x+a，直接根据周期公式求出函数的最小正周期．
（2）借助正弦函数的单调增区间，求函数 f（x）=

3

sin2x+a的单调递增区间．
（3）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值为1，由函数的单调性可得当x=0时，函数有最小值，故 0+a=1，由此求得a的值．

解答：解：（1）f(x)=sin(2x+

π

6

)+2sin2(x+

π

6

)-2cos2x+a-1
=sin(2x+

π

6

)-cos（2x+

π

3

）-2cos²x+a
=sin2x•

3

2

+cos2x•

1

2

-cos2x•

1

2

+sin2x•

3

2

-2×

1+cos2x

2

+a 
=

3

sin2x-cos2x+a-1=2sin（2x-

π

6

）+a-1．
故函数f（x）的最小正周期等于

2π

2

=π．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，
故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（3）若x∈[0，

π

2

]时，有-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，故当2x-

π

6

=-

π

6

 时，即x=0时，f（x）有最小值为1，
由2×(-

1

2

)+a-1=1，∴a=3．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，三角函数的最值，考查计算能力，是中档题．