Question

已知函数f（x）=（x²﹣3x+3）·e^x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）求证：n＞m；
（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x_0^∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x₀的个数．

Answer 1

（Ⅰ）解：因为f′（x）=（2x﹣3）e^x+（x²﹣3x+3）·e^x，
由f′（x）＞0x＞1或x＜0，
由f′（x）＜00＜x＜1，
∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
∵函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，
∴﹣2＜t≤0，
（Ⅱ）证：因为函数f（x）在（﹣∞，0）∪（1，+∞）上单调递增，
在（0，1）上单调递减，
所以f（x）在x=1处取得极小值e，
又f（﹣2）=13e﹣2＜e，
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值为f（﹣2），
从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，
（Ⅲ）证：因为 ，
∴ ，即为x₀²﹣x₀= ，
令g（x）=x²﹣x﹣ ，
从而问题转化为证明方程g（x）= =0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，因为g（﹣2）=6﹣ （t﹣1）2=﹣ ，
g（t）=t（t﹣1）﹣ = ，
所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）·g（t）＜0，
所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，
当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=﹣ ＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，
当t=1时，g（x）=x²﹣x=0，解得x=0或1，
所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，
当t=4时，g（x）=x²﹣x﹣6=0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，
综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x₀∈（﹣2，t），满足 ，
且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x₀适合题意，
当1＜t＜4时，有两个x₀适合题意．