Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+（c-3a-2b）x+d的图象如图 所示
（1）求c，d的值；
（2）若函数f（x）在x=2处的切线方程为3x+y-11=0，求函数f（x）的解析式；
（3）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=

1

3

f′（x）+5x+m的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数，然后根据函数f（x）的图象过点（0，3），且f'（1）=0建立等式，即可求出c和d的值；
（2）根据函数f（x）在x=2处的切线方程为3x+y-11=0可得f′（2）=-3且f（2）=5，解方程组即可求出函数的解析式；
（3）可转化为：x³-6x²+9x+3=（x²-4x+3）+5x+m有三个不等实根，即g（x）=x³-7x²+8x-m与x轴有三个交点，然后利用导数研究函数的极值，使极大值大于0，极小值小于0，求出m的范围即可．

解答：解：函数f（x）的导函数为f'（x）=3ax²+2bx+c-3a-2b
（1）由图可知  函数f（x）的图象过点（0，3），且f'（1）=0
得

d=3 3a+2b+c-3a-2b=0

?

d=3 c=0

（2）依题意f′（2）=-3且f（2）=5

12a+4b-3a-2b=-3 8a+4b-6a-4b+3=5

解得a=1，b=-6
所以f（x）=x³-6x²+9x+3
（3）f′（x）=3x²-12x+9
可转化为：x³-6x²+9x+3=（x²-4x+3）+5x+m有三个不等实根，
即g（x）=x³-7x²+8x-m与x轴有三个交点；
g′（x）=（3x-2）（x-4）
当x∈（-∞，

2

3

），g′（x）＞0，
当x∈（

2

3

，4），g′（x）＜0，
当x∈（4，+∞），g′（x）＞0
∴g（

2

3

）=

68

27

-m，g（4）=-16-m
当且仅当g（

2

3

）=

68

27

-m＞0且g（4）=-16-m＜0时，有三个交点，
故-16＜m＜

68

27

为所求．

点评：本题主要考查了函数的解析式，利用导数研究函数的极值和导数的几何意义，属于中档题．