Question

（2009•朝阳区二模）设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且点（S_n-1，S_n）（n∈N^*，n≥2）在直线（2t+3）x-3ty+3t=0（t为与n无关的正实数）上．
（Ⅰ） 求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ） 记数列{a_n}的公比为f（t），数列{b_n}满足b1=1，bn=f(

1

bn-1

)（n∈N^*，n≥2）．
设c_n=b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，设dn=(1+

1

3bn-1

)n（n∈N^*），证明d_n＜d_n+1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为点（S_n-1，S_n）（n∈N^*，n≥2）在直线（2t+3）x-3ty+3t=0（t为与n无关的正实数）上，所以（2t+3）S_n-1-3tS_n+3t=0，由此能够证明{a_n}是等比数列． 
（Ⅱ）  由（Ⅰ） 知f(t)=

2t+3

3t

，从而bn=f(

1

bn-1

)=

2• 1 bn-1 +3

3• 1 bn-1

=

2

3

+bn-1，所以b_n-b_n-1=

2

3

（n∈N^*，n≥2）．由此能够求出数列{c_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知dn=(1+

1

2n

)n，则dn+1=[1+

1

2(n+1)

]n+1．将dn=(1+

1

2n

)n用二项式定理展开，共有n+1项，Tk+1=

C

k n

(

1

2n

)k=

1

2k

•

1

k!

•

n(n-1)…(n-k+1)

nk

=

1

2k

•

1

k!

•(1-

1

n

)(1-

2

n

)…(1-

k-1

n

)，同理，dn+1=[1+

1

2(n+1)

]n+1用二项式定理展开，第n+2项Un+2=

C

n+1 n+1

[

1

2(n+1)

]n+1＞0，由此能够证明d_n＜d_n+1．

解答：解：（Ⅰ）因为点（S_n-1，S_n）（n∈N^*，n≥2）在直线（2t+3）x-3ty+3t=0（t为与n无关的正实数）上，
所以（2t+3）S_n-1-3tS_n+3t=0，
即有3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（n∈N^*，n≥2）．
当n=2时，3t（a₁+a₂）-（2t+3）a₁=3t．
由a₁=1，解得a2=

2t+3

3t

，
所以

a2

a1

=

2t+3

3t

．
当n≥2时，有3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t①
3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t②
①-②，得 3ta_n+1-（2t+3）a_n=0，
整理得

an+1

an

=

2t+3

3t

．
综上所述，知

an+1

an

=

2t+3

3t

（n∈N*），
因此{a_n}是等比数列． …（5分）
（Ⅱ）  由（Ⅰ） 知f(t)=

2t+3

3t

，从而bn=f(

1

bn-1

)=

2• 1 bn-1 +3

3• 1 bn-1

=

2

3

+bn-1，
所以b_n-b_n-1=

2

3

（n∈N^*，n≥2）．
因此，{b_n}是等差数列，并且bn=b1+(n-1)d=

2

3

n+

1

3

．
所以，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=-2d(b2+b4+…+b2n)=-

4

3

•

n(b2+b2n)

2

=-

4

3

•

n( 5 3 + 4n+1 3 )

2

=-

8

9

n2-

4

3

n．                       …（10分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知dn=(1+

1

2n

)n，
则dn+1=[1+

1

2(n+1)

]n+1．
将dn=(1+

1

2n

)n用二项式定理展开，
共有n+1项，其第k+1项（0≤k≤n）为Tk+1=

C

k n

(

1

2n

)k=

1

2k

•

1

k!

•

n(n-1)…(n-k+1)

nk

=

1

2k

•

1

k!

•(1-

1

n

)(1-

2

n

)…(1-

k-1

n

)，
同理，dn+1=[1+

1

2(n+1)

]n+1用二项式定理展开，
共有n+2项，第n+2项为Un+2=

C

n+1 n+1

[

1

2(n+1)

]n+1＞0，
其前n+1项中的第k+1项（0≤k≤n）为Uk+1=

1

2k

•

1

k!

•(1-

1

n+1

)(1-

2

n+1

)…(1-

k-1

n+1

)，
由1-

1

n

＜1-

1

n+1

，1-

2

n

＜1-

2

n+1

，…，1-

k

n

＜1-

k

n+1

，k=2，3，…，n，
得T_k+1＜U_k+1，k=2，3，…，n，
又T₁=U₁，T₂=U₂，U_n+2＞0，
∴d_n＜d_n+1．                        …（13分）

点评：本题考查等比数列的证明、前n项和的求法和不等式的证明，结合含两个变量的不等式的处理问题，计算量大，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．