Question

已知函数f(x)=(

3

sinx+cosx)•cosx．
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设f(α)=

13

10

，α∈(-

π

3

，

π

6

)，求cos2α的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正弦公式及二倍角公式化简f（x）的解析式为

1

2

+sin（2x+

π

6

），由此求得函数的最大值和周期．
（2）由条件可得sin（2α+

π

6

）=

4

5

，利用同角三角函数的基本关系求出cos（2α+

π

6

 ）=

3

5

，根据 cos2α=
cos[（2α+

π

6

）-

π

6

]，利用两角差的余弦公式求出结果．

解答：解：（1）f（x）=(

3

sinx+cosx)•cosx=

3

sinxcosx+cos²x=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

 
=

1

2

+sin（2x+

π

6

）．
故当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z时，函数的最大值为

1

2

+1=

3

2

，最小正周期等于

2π

2

=π．
（2）∵f(α)=

13

10

，α∈(-

π

3

，

π

6

)，∴

1

2

+sin（2α+

π

6

）=

13

10

，sin（2α+

π

6

）=

4

5

．
由-

π

2

≤2α+

π

6

≤

π

2

，可得 cos（2α+

π

6

 ）=

3

5

．
∴cos2α=cos[（2α+

π

6

）-

π

6

]=cos（2α+

π

6

 ）cos

π

6

+sin（2α+

π

6

）sin

π

6

 
=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

4+3 3

10

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，正弦函数的周期性和最大值，二倍角公式的应用，属于中档题．