Question

【题目】已知动点在轴上方，且到定点距离比到轴的距离大.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与曲线交于，两点，点，分别异于原点，在曲线的，两点处的切线分别为，，且与交于点，求证：在定直线上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）设，由到定点距离比到轴的距离大，可得，化简可得点的轨迹的方程；

（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为与联立，设，，可得，的值，又，所以，可得切线的方程，同理可得切线的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上.

解：（1）设，

则有，化简得，

故轨迹的方程为.

（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，

设直线的方程为与

联立得，

设，，

则，，

又，所以，

所以切线的方程为，

即，

同理切线的方程为

联立得，.

两式消去得，

当时，，，

所以交点的轨迹为直线，去掉点.

因而交点在定直线上.