Question

已知f（x）=-3x²+a（6-a）x+6．
（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（-1，3），求实数a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（1）＞0，即-3+a（6-a）+6＞0，即a²-6a-3＜0，由此可得不等式的解集；
（Ⅱ）不等式f（x）＞b的解集为（-1，3），等价于-3x²+a（6-a）x+6＞b的解集为（-1，3），即-1，3是方程3x²-a（6-a）x-6+b=0的两个根，利用韦达定理可求实数a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-3x²+a（6-a）x+6，f（1）＞0
∴-3+a（6-a）+6＞0
∴a²-6a-3＜0
∴3-2

3

＜a＜3+2

3

∴不等式的解集为{a|3-2

3

＜a＜3+2

3

}（6分）
（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集为（-1，3），
∴-3x²+a（6-a）x+6＞b的解集为（-1，3），
∴-1，3是方程3x²-a（6-a）x-6+b=0的两个根
∴

-1+3= a(6-a) 3 (-1)×3= -6+b 3

∴a=3±

3

，b=-3（12分）

点评：本题考查不等式的解法，考查不等式的解集与方程解的关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．