Question

【题目】已知函数在区间上的最大值为4，最小值为1．

（1）求实数、的值；

（2）记，若在上是单调函数，求实数的取值范围；

（3）对于函数，用，1，2，，，将区间任意划分成个小区间，若存在常数，使得和式对任意的划分恒成立，则称函数为上的有界变差函数．记，试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由．

（参考公式：

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）是，6.

【解析】

（1）由已知中在区间的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，构造出关于，的方程组，解得，的值；

（2）由的解析式可得的解析式，讨论的符号结合对勾函数的图象和单调性可得的范围；

（3）根据有界变差函数的定义，我们先将区间进行划分，进而判断是否恒成立，进而得到结论．

（1）函数，因为，

所以在区间上是增函数，

又函数故在区间，上的最大值为4，最小值为1，

，即，

解得，；

（2）由已知可得，

，

若在上是单调函数，

若，即，由两个增函数的和还是增函数，易得函数在递增；

若，函数为对勾函数，结合图象可知：在递增；

或，解得：或.

综上所述：或.

（3）函数为上的有界变差函数．

因为函数为递增，递减，上的单调递增函数，

且对任意划分，

有

恒成立，①

且对任意划分，

有，

恒成立，②

且对任意划分，

有，

恒成立，③

由①②③可得，

存在常数，使得恒成立，的最小值为6．