Question

2．已知数列{a_n}的首项a₁=5，S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知式子可得当n≥2时，S_n=2S_n-1+n-1+5，两式相减化简可得$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=2，又可得$\frac{{a}_{2}+1}{{a}_{1}+1}$=2，由等比数列的定义可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a₁+1=6，由等比数列的通项公式可得a_n+1的通项，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n+1=2S_n+n+5，
∴当n≥2时，S_n=2S_n-1+n-1+5，
两式相减可得a_n+1=S_n+1-S_n-1=2（S_n+1-S_n-1）+1=2a_n+1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{2（{a}_{n}+1）}{{a}_{n}+1}$=2，
又当n=1时，S₂=2S₁+1+5=16，
∴a₂=S₂-S₁=16-5=11，
∴$\frac{{a}_{2}+1}{{a}_{1}+1}$=$\frac{11+1}{5+1}$=2，
∴数列{a_n+1}是2为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a₁+1=6，
∴a_n+1=6×2^n-1=3×2ⁿ，
∴a_n=3×2ⁿ-1

点评 本题考查等比数列的判定，以及等比数列的通项公式和数列的递推公式，属中档题．