Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

an+n，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+9），其中λ为实数，n为正整数．
（1）若数列{a_n}前三项成等差数列，求λ的值；
（2）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的定义及其通项公式即可得出；
（2）由（1）可知：若λ=-6，数列{b_n}不是等比数列；当λ≠-6时，利用递推关系可找出b_n+1与b_n的关系即可；
（3）对λ分λ=-6与λ≠-6讨论，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）∵a₁=λ，∴a2=

2

3

a1+1=

2

3

λ+1，a3=

2

3

a2+2=

2

3

(

2

3

λ+1)+2=

4

9

λ+

8

3

．
∵数列{a_n}前三项成等差数列，∴2a₂=a₁+a₃，
∴2(

2

3

λ+1)=λ+

4

9

λ+

8

3

，解得λ=-6．
∴λ的值为-6．
（2）由（1）可知：若λ=-6，则a_n=-6+3（n-1）=3n-9，此时b_n=0不是等比数列；
当λ≠-6时，a_n≠3n-9．
bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+9]=(-1)n+1(

2

3

an+n-3n+6)=-

2

3

×(-1)n(an-3n+9)=-

2

3

bn．
又b₁=-（a₁-3+9）=-λ-6≠0，
∴数列{b_n}是以-λ-6为首项，-

2

3

为公比的等比数列．
（3）由（1）（2）可知：①当λ=-6时，b_n=0，对于给定的0＜a＜b，对任意正整数n，0＜a＜S_n＜b不成立．
②当λ≠-6时，假设存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b成立．
由（2）可知：数列{b_n}是以-λ-6为首项，-

2

3

为公比的等比数列，∴bn=(-λ-6)×(-

2

3

)n-1=(-1)n(λ+6)•(

2

3

)n-1．
∴S_n=（-λ-6）[1-

2

3

+(-

2

3

)2+…+(-

2

3

)n-1]=(-λ-6)•

1-(- 2 3 )n

1-(- 2 3 )

=

3(-λ-6)

5

[1-(-

2

3

)n]．
当n→+∞时，(-

2

3

)n→0．
当λ＞-6时，S_n＜0，此时对任意正整数n，a＜S_n＜b不成立．
当λ＜-6时，n=2k（k∈N^*）时，∵

5

9

＜1-(-

2

3

)2k＜1，∴0＜

-λ-6

3

＜Sn＜

3(-λ-6)

5

；
n=2k-1（k∈N^*）时，1＜1-(-

2

3

)2k-1＜

5

3

，∴0＜

3(-λ-6)

5

＜Sn＜(-λ-6)．
∵0＜

-λ-6

3

＜

3(-λ-6)

5

＜（-λ-6）．
∴对于任意正整数n，0＜

-λ-6

3

＜Sn＜-λ-6．
∵设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b．
∴必有

a≤ -λ-6 3 b≥-λ-6

，解得-6-b≤λ≤-3a-6.(a≤

b

3

)．

点评：数列掌握等差数列的定义及其通项公式、等比数列与等差数列的前n项和公式、分类讨论的思想方法、递推关系是解题的关键．