Question

某种鲜花进价每束2.5元，售价每束5元，若卖不出，则以每束1.6元的价格处理掉．某节日需求量X（单位：束）的分布列为

X	200	300	400	500
P	0.20	0.35	0.30	0.15

（Ⅰ）若进鲜花400束，求利润Y的均值．
（Ⅱ）试问：进多少束花可使利润Y的均值最大？

Answer 1

分析：（I）根据所给的分布列做出需要鲜花的期望，用求得的期望乘以5加上1.6乘以75．这是收入，减去成本，得到利润．
（II）先设进n（n≤500）束花可使利润Y的均值最大．当400＜n≤500时，销售量S的分布列，可得ES=0.15n+265，及利润Y的均值EY．同理，对其它区间讨论后，可得利润Y的均值EY的分段函数，从而求得EY取最大值．

解答：解：（I）由销售量S的分布列

∴得到ES=200×0.2+300×0.35+400×0.45=325，
∴利润是（325×5+75×1.6）-400×2.5=745，
（II）设进n（n≤500）束花可使利润Y的均值最大，
当400＜n≤500时，销售量S的分布列为：

可得ES=0.15n+265，
Y=3.4S-0.9n，EY=3.4ES-0.9n=-0.39n+901，
同理，对其它区间讨论后，可得
EY=

2.5n(n≤200) 1.82n+136(200＜n≤300) 0.63n+493(300＜n≤400) -0.39n+901(400＜n≤500)

，
从而得，当n=400时，EY取最大值745．

点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，本题解题的关键是求出期望值，看清楚收入和成本，本题是一个基础题．