Question

设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合，对于A∈S（m，n），记r_i（A）为A的第i行各数之和（1≤i≤m），C_j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r₁（A）|，|R₂（A）|，…，|R_m（A）|，|C₁（A）|，|C₂（A）|，…，|C_n（A）|中的最小值。
（1）如表A，求K（A）的值；

（2）设数表A∈（2，3），形如下表，求K（A）的最大值。

（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值。

Answer 1

解：（1）由题意可知r₁（A）=1.2，r₂（A）=-1.2，c₁（A）=1.1，c₂（A）=0.7，c₃（A）=-1.8
∴K（A）=0.7 。
（2）先用反证法证明k（A）≤1：
若k（A）＞1 则|c₁（A）|=|a+1|=a+1＞1，
∴a＞0
同理可知b＞0，
∴a+b＞0
由题目所有数和为0
即a+b+c=-1
∴c=-1-a-b＜-1 与题目条件矛盾
∴k（A）≤1
易知当a=b=0时，k（A）=1存在
∴k（A）的最大值为1。
（3）k（A）的最大值为
首先构造满足的A={a_i，_j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）；
，

经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，
且，
，

下面证明是最大值，若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得
由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x，2]中，由于x＞1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x-1
设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g＜h，则g≤t，h≥t+1
另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负
考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x-1（即每个负数均不超过1-x）
因此|r₁（A）|=r₁（A）≤t?1+（t+1）（1-x）=2t+1-（t+1）x=x+（2t+1-（t+2）x）＜x，
故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾
因此k（A）的最大值为。