Question

在△ABC中，AB=AC=2，BC=2

3

，点D在BC边上，∠ADC=60°，则

AD

•

DC

=

-

4

3

．

Answer 1

分析：由A向BC作垂线，垂足为E，根据三角形为等腰三角形求得BE，进而再Rt△ABE中，利用BE和AB的长求得B，则AE可求得，然后在Rt△ADE中利用AE和∠ADC求得AD以及DC，再代入向量的数量积计算公式即可．

解答：解：由A向BC作垂线，垂足为E，
∵AB=AC
∴BE=

1

2

BC=

3

∵AB=2
∴cosB=

BE

AB

=

3

2

∴B=30°
∴AE=BE•tan30°=1
∵∠ADC=60°
∴AD=

AE

sin∠ADC

=

2

3

=

2 3

3

．
tan∠ADE=

AE

DE

=tan60°⇒DE=

3

3

；
∴DC=DE+EC=

3

3

+

3

=

4 3

3

．
∴

AD

•

DC

=|

AD

|•|

DC

|cos（180°-∠ADC）
=

2 3

3

×

4 3

3

×（-

1

2

）=-

4

3

故答案为：-

4

3

点评：本题主要考查了解三角形问题以及平面向量数量积的运算．考查了学生分析问题和解决问题的能力．注意本题中向量的夹角是120度，避免出错．