Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B的两点，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），试用x₁，x₂表示点M的坐标．
（Ⅱ）

FM

•

AB

是否为定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
（III）设△ABM的面积为S，试确定S的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导，得出两点处切线的斜率，写出两直线的点斜式方程，求出其交点即得；
（Ⅱ）由题意，表示出两向量），

FM

=（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

-

p

2

），

AB

=（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，

x2 2-x1 2

2p

），的坐标，求其内积即可．
（III）根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据基本不等式求出最值及最值成立的条件即可．

解答：解：由x²=2py，得y=

x2

2p

，故y′=

x

p

，切线AM的方程为y-y1=

x1

p

(x-x1)，即y=

x1

p

x-

x1 2

2p

①，
切线BM的方程为：y-y2=

x2

p

(x-x2)即y=

x2

p

x-

x2 2

2p

②
由①②联立解得M的坐标是（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

）
（2）F（0，

p

2

），

FM

=（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

-

p

2

），

AB

=（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，

x2 2-x1 2

2p

），

FM

•

AB

=

x2 2-x1 2

2

+（

x2x1

2p

-

p

2

）

x2 2-x1 2

2p

③
由A，B，F三点共线得k_AF=k_BF∴

y1- p 2

x1

=

y2- p 2

x2

，将y₁=

x1 2

2p

，y2=

x2 2

2p

代入整理得x₁x₂=-p²④，
把④代入③得

FM

•

AB

=0
（3）由（2）知FM⊥AB，故△ABM的面积为S=

1

2

AB×FM=

1

2

（y1+

p

2

+y2+

p

2

，

( x1+x2 2 )2+( x2x1 2p - p 2 )2

）=

1

2

（

x1 2+x2 2

2p

+p）

x1 2+x2 2 4 + p2 2

∵x₁²+x₂²≥2|x₁x₂|
∴x₁²+x₂²≥2p²（当且仅当x₁=-x₂时等号成立）
∴S的最小值是

1

2

p2

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，本部分题由于是符号运算，运算量较大，做题时要注意变形准确、正确，免得一误致全误劳而无功，求解此类题的关键是把几何位置关系与解析几何中的相关方程建立起联系灵活转化．