Question

已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.

Answer 1

解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意

∴b=1.∴所求椭圆方程为+y²=1.

(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

①当AB⊥x轴时,|AB|=.

②当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,

由已知=,得m²=(k²+1).

把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k²+1)x²+6kmx+3m²-3=0,

∴x₁+x₂=,x₁x₂=.

∴|AB|²=(1+k²)(x₂-x₁)²

=(1+k²)［］

=

=3+=3+(k≠0)≤3+=4.

当且仅当9k²=,即k=±时等号成立.

当k不存在时,|AB|=,综上所述,|AB|_max=2,

∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值,S=×|AB|_max×=.