题目内容

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若 $数学公式$ ，且∠A为锐角．
（Ⅰ）求∠A的度数；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，求△ABC的面积．

解：（1）在△ABC中，B+C=π-A，cos（B+C）=-cosA，
∴ $\text{[math]}$ +cos2A= $\text{[math]}$ [1-cos（B+C）]+2cos²A-1=2cos²A+ $\text{[math]}$ cosA- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴8cos²A+2cosA-3=0，
∴cosA= $\text{[math]}$ 或cosA=- $\text{[math]}$ ，
∵∠A为锐角，
∴cosA= $\text{[math]}$ ，A=60°…7分
（2）由余弦定理：a²=b²+c²-2bccos60°=3，
∴（b+c）²-3bc=3，
又b+c=3，
∴bc=2．
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ bcsinA= $\text{[math]}$ …14分
分析：（1）利用三角函数中的恒等变换可求得cosA，由∠A为锐角即可求得∠A；
（2）利用余弦定理可求得（b+c）²-3bc=3，再结合已知b+c=3可求得bc，从而可得△ABC的面积．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换，考查余弦定理与△ABC的面积的求法，求得∠A是关键，属于中档题．