Question

选做题：（考生可以在以下三个题任选一道题作答，如果多做以考生所作的第一道题为准）
（a） 不等式|x-4|-|x-2|＞1的解集为

(-∞，

5

2

)

．
（b） 已知直线l的极坐标方程为：ρcosθ-ρsinθ-

2

=0，圆C的参数方程为

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数），那么直线l与圆C的位置关系为

相切

．
（c） 如图已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=

2

，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为

7

2

．

Answer 1

分析：（a）先对x进行分类讨论，根据x的范围先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．
（b）先利用sin²θ+cos²θ=1将圆的参数方程化成圆的普通方程，然后利用利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，将直线的极坐标方程化成普通方程，最后计算圆心到直线的距离与半径进行比较即可判定位置关系．
（c）设出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF求出k的值，利用切割定理求出CE．

解答：解：（a）原不等式|x-4|-|x-2|＞1．
当x＜2时，原不等式化为4-x-（2-x）＞1，即2＞1，∴x＜2；
当2≤x≤4时，原不等式化为4-x-（x-2）＞1，∴2≤x＜

5

2

；
当x＞4时，原不等式化为（x-4）-（x-2）＞1，即-2＞1，∴x∈∅．
综上，原不等式解集为(-∞，

5

2

)．
故答案为：(-∞，

5

2

)．

（b）圆的参数方程

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数），
∴圆的普通方程为x²+y²=1，
直线的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-

2

=0，
∴直线的普通方程为x-y-

2

=0
而d=

|- 2 |

2

=1=r，
∴直线与圆的位置关系是相切．
故答案为：相切．

（c）设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k²，即k=

1

2

，
∴AF=2，BF=1，BE=

1

2

，AE=

7

2

，
由切割定理得CE²=BE•EA=

1

2

×

7

2

=

7

4

∴CE=

7

2

．
故答案为：

7

2

．

点评：（a）此小题考查绝对值不等式的解法，运用了分类讨论的思想，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型．
（b）本小题主要考查圆的参数方程及直线与圆的位置关系的判断，以及转化与化归的思想方法，属于基础题．
（c）本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，常考题型．