Question

已知圆心在直线y=2x上的圆C经过点M（-1，1），且该圆被x轴截得的弦长为2．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在过圆心C的两条互相垂直的直线，使得点M到这两条直线的距离之积为

3

2

，若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵圆心在直线y=2x上，
∴设圆C的方程为（x-a）²+（y-2a）²=r²，…①
又∵圆C经过点（-1，1），
∴（-1-a）²+（1-2a）²=r²，…②
又∵圆C被x轴截得的弦长为2，
∴1+（2a）²=r²，…③
由①②③解得a=1，r²=5，
则圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=5；                 
（2）由（1）知圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=5，圆心C（1，2），
假设存在互相垂直的两条直线满足条件，
当一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0时，
点（-1，1）到两条垂直直线的距离之积为2≠

3

2

，不符合题意；
当它们的斜率均存在时，
分别设为y-2=k（x-1），y-2=-

1

k

（x-1），即kx-y+2-k=0，x+ky-2k-1=0，
∴

|-2k+1|

1+k2

•

|-k-2|

1+k2

=

3

2

，即

|2k2+3k-2|

1+k2

=

3

2

，
当

2k2+3k-2

1+k2

=

3

2

时，即k²+6k-7=0，解得：k=1或k=-7；
当

2k2+3k-2

1+k2

=-

3

2

时，即7k²+6k-1=0，解得：k=-1或k=

1

7

，
则存在互相垂直的两条直线方程分别为x-y+1=0，x+y-3=0或x-7y+13=0，7x+y-9=0．